どの部屋でも排泄していたの？

では辺り構わずどの部屋でも排泄は行っていたのでしょうか。
前述した「御樋殿」「御湯殿」という場所を設け、そこで行っていたようです。

『帥記』承暦四年五月十一日条12 （略）西廊立亘馬形障子、同南渡殿北立亘打毬障子等、以北渡殿為鯉避並御 樋殴（以下略） （『権言己　自巾言己』p34） 

ここでは「北渡殿を御湯殿並びに御樋殿と為す」という表現があります。北の渡り廊下の先に、「御湯殿」「御樋殿」があると解釈できますね。また『延喜式』宮城図にも、内裏図の中に「御樋殿」があります。このことから寝殿造における「樋殿」は「排泄する場所」と推測できます。
しかし貴族の財力などにより、必ずしも邸宅に樋殿があったわけではないようです。

『雅亮装束抄』16
尊者のやすみ所とて、外記・史の座のそばなどびんぎの所一間に、御簾をかけまはして、高麗の畳一帖を敷きて、大臣の尊者のをりはおほ壷を置き、大納言には反に穴をゑるなり、（以下略）（『雅亮装束抄』、和装本）

「やすみ所（休所）」に畳を敷いて御簾で囲った空間に、大臣が客である場合には「大壷」を置き、納言や参議が客の場合には「板に穴を開けたもの」を使用する、と書いてあります。

この屋敷ではもともと用を足す「板の穴」が「便所」として作られており、その穴の下には壷やそれに代わる容器が置かれていたということですね。

中身を捨てるだけではなく、女性もその場所を利用できたのでしょうか？

『源氏物語』（空蝉） によると、老いた女房が下痢をしていたために夜間に「お腹が、お腹が…」と言いながら渡殿を通り過ぎて行った、という箇所があります。

ですので、男性専用であったというわけではないようです。小便はわかりませんが、大便の排泄に関しては、寝殿ではなく、外の庭か離れで行ったものと考えていいのかもしれません。とはいえ着物に匂いは付着するでしょう。そりゃお香を焚き染めるわけです。

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